Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N^•）．
（I） 求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用a₁=1，且3a_n+1+2s_n=3（n∈N^•），令n=1、2，可求a₂，a₃的值，n≥2时，3a_n+2s_n-1=3与条件相减，可得数列{a_n}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）求出等比数列的和，求出数列和的最小值，即可得到实数k的最大值．

解答：解：（I）∵a₁=1，且3a_n+1+2s_n=3（n∈N^•）
∴当n=1时，3a₂+2a₁=3，∴a2=

1

3

…（2分）
∴当n=2时，3a₃+2（a₁+a₂）=3，∴a3=

1

9

…（3分）
∵3a_n+1+2s_n=3①
∴当n≥2时，3a_n+2s_n-1=3  ②
由①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0…（5分）
∴

an+1

an

=

1

3

(n≥2)，
又∵a1=1，a2=

1

3

，…（7分）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
∴an=a1qn-1=

1

3n-1

                        …（8分）
（II）由（I）知Sn=

3

2

[1-(

1

3

)n]…（9分）
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤

3

2

[1-(

1

3

)n]…（10分）
令f（n）=

3

2

[1-(

1

3

)n]，则函数为单调增函数，∴当n=1时，f（n）_min=1                     …（12分）
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．…（13分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是利用等比数列的定义，确定函数的单调性．