Question

设函数f（x）=px²+qx-

q

x

是奇函数，其中p，q是常数，且q≠0．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x-1）的单调区间；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，

π

2

]上的最大值与最小值．（用q表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于函数在R上的奇函数，根据奇函数性质即可解出p值；
（Ⅱ）求导函数f′（x），得到函数的单调区间，又由复合函数的单调性，即可得到f（x-1）的单调区间；
（Ⅲ）利用导数求区间上的最值，要先求函数的极值点，再与端点值比较大小即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
即px²-qx+

q

x

=-（px²+qx-

q

x

） 
得2px²=0对任意x≠0恒成立 
∴p=0                                              
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=qx-

q

x

（q≠0）
∵f′(x)=q+

q

x2

                                  
∴当q＜0时，f′（x）＜0，
∴当q＜0时，f（x）在定义域内是减函数                
又∵t=x-1，当x≠1时，t在（-∞，1），（1，+∞）上递增            
∴当q＜0时，f（x-1）单调递减，减区间为（-∞，1），和（1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
当q＜0时，函数f（x）在定义域内是减函数
当q＞0时，函数f（x）在定义域内是增函数            
∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

         
∴sinx+cosx在x∈[0，

π

2

]上有1≤sinx+cosx≤

2

∴当q＜0时，f（sinx+cosx）的最大值为f（1）=0，最小值为f(

2

)=

2

2

q
当q＞0时，f（sinx+cosx）的最大值为f(

2

)=

2

2

q，最小值为f（1）=0

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，解题时要熟练掌握函数奇偶性、单调性定义，能准确利用函数导数求函数的最值．