Question

已知函数f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+5cos2x．   
（1）若f（α）=5，求tanα的值；
（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（x）在（0，B]上的值域．

Answer 1

分析：（1）把f（α）=5代入整理可得，

3

sin2α+cos2α=1，，利用二倍角公式化简可求tanα
（2）由

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，利用余弦定理可得，

2accosB

2abcosC

=

c

2a-c

，即

cosB

bcosC

=

1

2a-c

，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4，由0＜x≤

π

3

可求．

解答：解：（1）由f（α）=5，得3sin2α+2

3

sinαcosα+5cos2α=5．
∴3

1-cos2α

2

+

3

sin2α+5

1+cos2α

2

=5．
∴

3

sin2α+cos2α=1，
即

3

sin2α=1-cos2α?2

3

sinαcosα=2sin2αsinα=0或tanα=

3

，
tan∴tanα=0或tanα=

3

．（5分）
（2）由

2accosB

2abcosC

=

c

2a-c

，即

cosB

bcosC

=

1

2a-c

，得

cosB

sinBcosC

=

1

2sinA-sinC

，则cosB=

1

2

即B=

π

3

，（8分）
又f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+5cos2x=

3

sin2x+cos2x+4=2sin(2x+

π

6

)+4（10分）
由0＜x≤

π

3

，则

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，故5≤f（x）≤6，即值域是[5，6]．（12分）

点评：本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简单综合的运用，属于中档试题．