题目内容

已知函数f(x)=sin(2x+
π
3
)+sin(2x-
π
3
)+2cos2x+a-1（a为常数），若函数f（x）的最大值为
2
+1．
（1）求实数a的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
3
8
π个单位，再向下平移2个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．
分析：（1）利用两角和及差的正弦对函数化简可得，f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)+a，由f(x)max=
2
+1可得a+
2
=
2
+1，可求a
（2）由g(x)=f(x+
3
8
π)-2=-
2
sin2x-1，要求函数g（x）的单调递减区间，只要求y=sin2x的单调递增区间即可，令-
π
2
+2kπ≤2x≤
π
2
+2kπ，k∈Z可求
解答：解：（1）∵得f(x)=sin2xcos
π
3
+sin
π
3
cos2x+sin2xcos
π
3
-sin
π
3
cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
∴f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)+a，…（4分）
由f(x)max=
2
+1得a=1．…（3分）
（2）∵g(x)=f(x+
3
8
π)-2=-
2
sin2x-1，…（4分）
令-
π
2
+2kπ≤2x≤
π
2
+2kπ，k∈Z
∴-
π
4
+kπ≤x≤
π
4
+kπ，k∈Z
∴函数的单调递减区间为[kπ-
π
4
，kπ+
π
4
]，k∈Z．…（3分）
点评：本题考查两角和与差的正弦公式及辅助角公式的应用，正弦函数的单调区间的求解．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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