Question

已知f(x)=log

1

3

x+1

x-1

（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）令g（x）=f（2^x+2），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先判定函数的定义域关于原点对称，再由定义判定函数的奇偶性；
（2）求出g（x）的表达式，得出g（x）的真数求值范围，即得值域．

解答：解：（1）由题意，

x+1

x-1

＞0，得{x|x＜-1或x＞1}；
任取x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
则f(-x)=log

1

3

-x+1

-x-1

=log

1

3

x-1

x+1

=-log

1

3

x+1

x-1

=-f(x)，
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（2）∵f(x)=log

1

3

x+1

x-1

，
∴g(x)=log

1

3

2x+3

2x+1

=log

1

3

(1+

2

2x+1

)，
令t=1+

2

2x+1

，由2^x＞0，得2^x+1＞1，
∴t=1+

2

2x+1

∈(1，3)，
∴log

1

3

t∈（-1，0），即g（x）的值域为（-1，0）．

点评：本题考查了函数的奇偶性以及函数的值域问题，是基础题．