题目内容
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
(Ⅰ)求证：AF∥平面PCE；
(Ⅱ)求证：平面PCE⊥平面PCD；
(Ⅲ)求三棱锥C－BEP的体积．
答案：
解析：
解析：
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证明:(Ⅰ)取PC的中点G，连结FG、EG， ∴FG为△CDP的中位线， ∴FG ∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点， ∴AB ∴FG ∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AF∥EG， 又EG ∴AF∥平面PCE； 4分 (Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA ∴CD⊥平面ADP， 又AF 直角三角形PAD中，∠PDA＝45°， ∴△PAD为等腰直角三角形， ∴PA＝AD＝2， 7分 ∵F是PD的中点， ∴AF⊥PD，又CD ∴AF⊥平面PCD， 8分 ∵AF∥EG， ∴EG⊥平面PCD， 9分 又EG 平面PCE⊥平面PCD； 10分 (Ⅲ)三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE， 11分 PA是三棱锥P－BCE的高， Rt△BCE中，BE＝1，BC＝2， ∴三棱锥C－BEP的体积 V三棱锥C－BEP＝V三棱锥P－BCE＝ |
CD， 1分
CD，
AE，
平面PCE，AF
平面PCE， 3分
AD＝A，
平面ADP，∴CD⊥AF， 6分
PD＝D，
平面PCE，
． 14分
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB和PC的中点．
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=