Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(B-A)=2sin2

C

2

．
（Ⅰ）求sinAsinB；
（Ⅱ）若a2+b2=

11

8

c2，求tanC．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，得到cos（B-A）=1-cosC，再由三角函数的诱导公式与两角和与差的余弦公式，化简整理即可求出sinAsinB的值．
（2）根据a2+b2=

11

8

c2利用余弦定理算出cosC=

3c2

16ab

，从而根据sinAsinB=

1

2

，利用正弦定理化简得cosC=

3

8

（1-cos²C），由此解出cosC=

1

3

，进而可得tanC的值．

解答：解：（1）∵sin²

C

2

=

1

2

(1-cosC)，
∴cos(B-A)=2sin2

C

2

=1-cosC，
又∵在△ABC中，cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB，
cos（B-A）=cosAcosB+sinAsinB，
∴cosAcosB+sinAsinB=1-（sinAsinB-cosAcosB），
化简得2sinAcosA=1，解得sinAsinB=

1

2

；
（2）∵a2+b2=

11

8

c2，
∴根据余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

11 8 c2-c2

2ab

=

3c2

16ab

，
又∵由（1）sinAsinB=

1

2

，化简得

3c2

16ab

=

3sin2C

16sinAsinB

=

3

8

sin2C．
∴cosC=

3

8

sin²C=

3

8

（1-cos²C），化简得3cos²C+8cosC-3=0，解之得cosC=

1

3

 （舍去-3），
由此可得sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

，tanC=

sinC

cosC

=2

2

．

点评：本题给出三角形的内角满足的三角函数等式，求三角函数的值．着重考查了三角恒等变换公式、正余弦定理、诱导公式与同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．