Question

函数f（x）=x²+bln（x+1）﹣2x，b∈R
（I）当 时，求函数f（x）的极值；
（II）设g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求证：对任意x₁，x₂∈（﹣1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）﹣g（x₂）≥2（x₁﹣x₂）．

Answer 1

解：（1）当时，函数解析式为，定义域为（﹣1，+∞）
∴对函数求导数，得，
令，解得或
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

（2）因为f（x）=x²+bln（x+1）﹣2x，
所以 ，其中x∈（﹣1，+∞）
因为b≥2，所以f'（x）≥0（当且仅当b=2，x=0时等号成立），
所以f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，
从而对任意x₁，x₂∈（﹣1，+∞），
当x₁≥x₂时，f（x₁）≥f（x₂），
又∵g（x）=f（x）+2x，
∴g（x₁）=f（x₁）+2x₁，g（x₂）=f（x₂）+2x₂
即g（x₁）+2x₁≥g（x₂）+2x₂，整理得g（x₁）﹣g（x₂）≥2（x₁﹣x₂）
所以对任意x₁，x₂∈（﹣1，+∞），且x₁≥x₂，
都有g（x₁）﹣g（x₂）≥2（x₁﹣x₂）．