题目内容

设函数f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论正确的是

A.
x₁＞-1
B.
x₂＜0
C.
0＜x₂＜1
D.
x₃＞2

C
分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．
解答：∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=± $\text{[math]}$ ．
∵当x＜- $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0；
在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上，f′（x）＜0；
在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，- $\text{[math]}$ ）上是增函数，在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是减函数，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．
故f（- $\text{[math]}$ ）是极大值，f（ $\text{[math]}$ ）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
得 x₁＜- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ＜x₂ $\text{[math]}$ ，x₃＞ $\text{[math]}$ ．
根据f（0）=a＞0，且f（ $\text{[math]}$ ）=a- $\text{[math]}$ ＜0，得 $\text{[math]}$ ＞x₂＞0．
∴0＜x₂＜1．
故选C．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．