Question

若关于x的方程x2-zx+1-

15

i=0（其中z∈C）有实根，求复数z的模的最小值，并求当复数z的模取到最小值时方程的解．

Answer 1

分析：在x2-zx+1-

15

i=0中，将z进行分离，得出z=( x+

1

x

)-

15

x

i，利用复数模的计算公式又得|z| =

( x+ 1 x )2+ 15 x2

=

x2+ 16 x2 +2

，再利用基本不等式求出最小值，继而去求方程的解．

解答：解：∵x∈R，∴zx=x2+1-

15

i⇒z=( x+

1

x

 )-

15

x

i，
故|z| =

( x+ 1 x  )2+ 15 x2

=

x2+ 16 x2 +2

≥

8+2

=

10

．
当且仅当x²=

16

x2

，即 x=±2时，|z|取得最小值

10

．
当x₁=2时，由4-2z+1-

15

i⇒z=

5

2

-

15

2

i，则另一解为x2=

1

2

-

15

2

i；
当x₁=-2时，由4+2z+1-

15

i⇒z=-

5

2

+

15

2

i，则另一解为x2=-

1

2

+

15

2

i．

点评：本题考查了参数分离法，基本不等式的应用．二次方程在复数范围内韦达定理仍然成立．