Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=4，求AC边上中线长的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理，将边b，c，a代换成sinB sinC sinA，再利用两角和正弦公式求B
（Ⅱ）设AC边上的中点为E，利用三边a，b，c用余弦等量将中线BE表示出来，再用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：2bcosB=ccosA+acosC，
2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
2sinBcosB=sinB，
sinB≠0，  ∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
（Ⅱ）如图：设AC边上的中点为E，
在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(

b

2

)2- 2c(

b

2

) cosA，
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得
BE²=

a2+c2+ac

4

=

(a+c)2-ac

4

=

16-ac

4

≥

16-( a+c 2 )2

4

=3，当a=c=2时取到”=”
所以AC边上中线长的最小值为

3

．

点评：本题考查正弦、余弦定理的应用，用基本不等式求最值．考查分析解决、计算能力．