Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，C=2A，a+c=10，cosA=

3

4

．
（Ⅰ）求

c

a

的值；
（Ⅱ）求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简所求式子，将C=2A代入利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后将cosA的值代入即可求出

c

a

的值；
（Ⅱ）由第一问得出的结果与a+c=10联立求出a与c的值，再利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵C=2A，cosA=

3

4

，
∴利用正弦定理得：

c

a

=

sinC

sinA

=

sin2A

sinA

=

2sinAcosA

sinA

=2cosA=

3

2

；
（Ⅱ）由a+c=10及

c

a

=

3

2

，解得a=4，c=6，
由cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+36-16

12b

=

3

4

，化简得，b²-9b+20=0，
解得：b=4或b=5，
经检验知b=4不合题意，舍去．
所以b=5．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．