Question

【题目】已知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；

（3）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出原函数的导函数，求和的解，即可求出函数的单调性；

（2）设出点的坐标，利用导数求出切线方程，构造函数，利用导数得到对于任意实数，有，即对任意实数，都有；

（3）由（2）知，，求出方程的根，由在上单调递减，得到.同理得到，则可证得结果..

（1）解：由，可得.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）证明：设点的坐标为，，则，，

曲线在点处的切线方程为，即，

令函数，即，

则，在R上单调递减.

，当时，；当，时，，

在上单调递增，在，上单调递减，

对于任意实数，，即对任意实数，都有；

（3）证明：由（2）知，，设方程的根为，可得.

在上单调递减，又由（2）知，

因此.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，

对于任意的，有，即.

设方程的根为，可得，

在上单调递增，且，

因此，

由此可得.