Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N*，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{b_n}的前n项和为T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N*，试比较与的大小，并加以证明。

Answer 1

解：(Ⅰ)因为，
即(a_n+1+a_n)(2a_n-a_n+1)=0，
又a_n＞0，
所以有2a_n-a_n+1=0，
所以，2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列， 
由a₂+a₄=2a₃+4，得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得：a₁=2，
故数列{a_n}的通项公式为。
(Ⅱ)因，所以，，
即数列{b_n}是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，，
则，
又，
，
猜想：，
①当n=1时，，上面不等式显然成立；
②假设当n=k时，不等式成立，
当n=k+1时，
；
综上①②对任意n∈N*均有，
又，
∴，
所以对于任意n∈N*均有。