Question

在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB
（1）求B角大小；
（2）若b=2，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理将已知等式化简，再根据两角和的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，结合B为三角形的内角即可算出角B的大小；
（2）利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，结合基本不等式加以计算可得ac≤4+2

2

，当且仅当a=c时等号成立．再由三角形的面积公式得到S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，代入ac的最大值即可得到三角形面积的最大值．

解答：解：（1）∵a=bcosC+csinB，
∴根据正弦定理，得sinA=sinBcosC+sinBsinC…①，
又∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC…②，
∴比较①②，可得sinB=cosB，即tanB=1，
结合B为三角形的内角，可得B=45°；
（2）∵△ABC中，b=2，B=45°，
∴根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得a²+c²-2accos45°=4，
化简可得a²+c²-

2

ac=4，
∵a²+c²≥2ac，∴4=a²+c²-

2

ac≥（2-

2

）ac．
由此可得ac≤

4

2- 2

=4+2

2

，当且仅当a=c时等号成立．
∴△ABC面积S=

1

2

acsinB=

2

4

ac≤

2

4

（4+2

2

）=

2

+1．
综上所述，当且仅当a=c时，△ABC面积S的最大值为

2

+1．

点评：本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式与基本不等式的运用等知识，属于中档题．熟练掌握有关定理及公式是解决本题的关键．