Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

∴f（x）的单调递增区间是（-

2

，

2

）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，
即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，
即a≥x+1-

1

x+1

对x∈（-1，1）恒成立，
令y=x+1-

1

x+1

，则y′=1+

1

(x+1)2

＞0
∴y=x+1-

1

x+1

在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-

1

1+1

=

3

2

∴a≥

3

2

当a=

3

2

时，当且仅当x=0时，f′（x）=0
∴a的取值范围是[

3

2

，+∞）．