Question

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx．(a≥

1

2

)
（1）若a＞

1

2

，求函数f(x)在x∈(0，a)上的最大值；
（2）若对任意x∈（0，a）时，恒有ma-f（x）＞1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=a．由此进行分类讨论，能求出函数f（x）的最大值．
（2）由（1）知：当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，a），即（0，

1

2

）上单调递增；a＞

1

2

时，函数f（x）在（0，a）上的最大值为f（

1

2

）．故“恒有ma-f（x）＞1成立”等价于“ma-1＞f（

1

2

）恒成立”，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，
令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x₂=a．
∵a＞

1

2

，∴由f′（x）＞0，得函数f（x）在（0，

1

2

）上单调递增，
由f′（x）＜0得函数f（x）在（

1

2

，a）上单调递减．
∴函数f（x）的最大值为f（

1

2

）=

1

4

-

2a-1

2

+aln

1

2

=aln

1

2

-a-

1

4

．
（2）由（1）知：
当①a=

1

2

时，函数f（x）在（0，a），即（0，

1

2

）上单调递增；
②a＞

1

2

时，函数f（x）在（0，a）上的最大值为f（

1

2

）．
∴“恒有ma-f（x）＞1成立”等价于“ma-1＞f（

1

2

）恒成立”，
即ma-1＞f（

1

2

）=aln

1

2

-a-

1

4

，
∴m＞ln

1

2

-1+

3

4a

．
∵a≥

1

2

，∴ln

1

2

-1+

3

4a

的最大值为

1

2

+ln

1

2

，
∴实数m的取值范围为{m|m＞

1

2

+ln

1

2

}．

点评：本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算推导能力、等价转化能力、分类讨论能力．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．