Question

如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P(1，0)，且BP∥y轴，△APB的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)又∠PAB＝45°，AP＝PB，故AP＝BP＝3． 　　∵P(1，0)，A(－2，0)，B(1，－3)分 　　∴b＝2，将B(1，－3)代入椭圆得：得， 　　所求椭圆方程为．; 　　(2)设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1(0，－)F2(0，)， 　　直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF1|－|MF2||最大，设F1(0，－)关于直线的对称点为 　　(－2，－2)，则直线与直线的交点为所求M， 　　因为的方程为：，联立 　　得M()分 　　又＝||MF1|－|MF2||＝||M|－|MF2||| 　　＝＝2，故， 　　故所求双曲线方程为：分