Question

（2013•凉山州二模）设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

1

2

，F1，F2是其左右焦点，点P（x_o，3）是直线x=

a2

c

（其中c²=a²-b²）上一点，且直线PF₂的倾斜角为

π

4

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A、B是椭圆E上两点，满足|AB|=1，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的离心率等于

1

2

，点P（x_o，3）是直线x=

a2

c

上一点，且直线PF₂的倾斜角为

π

4

及b²=a²-c²联立求解a与b的值，则椭圆E的方程可求；
（2）根据A、B是椭圆E上两点，且满足|AB|=1，分直线AB的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论三角形AOB的面积，斜率不存在时，可设A（x0，

1

2

），B（x0，-

1

2

），代入椭圆方程可求x₀的值，则三角形面积可求；当斜率存在时设出直线的斜截式方程，和椭圆联立后利用弦长公式写出弦长，由弦长等于1得到m和k的关系式，由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，把三角形AOB的面积取平方后配方，利用配方法求出面积平方得最小值，则面积的最小值可求．

解答：解：（1）由e=

c

a

=

1

2

，得a=2c，
由点P（x_o，3）是直线x=

a2

c

上一点，且直线PF₂的倾斜角为

π

4

，
得

a2

c

-c=3，得

b2

c

=3，所以b²=3c．
则b²=a²-c²=3c²=3c，所以c=1．
则a=2，b²=3．
所以所求椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（x0，

1

2

），B（x0，-

1

2

），代入椭圆方程
得|x0|=

11 3

，此时S△AOB=

33

6

．
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=192k²-48m²+144
由△＞0，得4k²+3＞m²．
x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
由|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( -8km 3+4k2 )2-4• 4m2-12 3+4k2

=1．
得m2=

176k4+312k2+135

48(1+k2)

．
点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

．
所以S△AOB=

1

2

d•|AB|=

1

2

|m|

1+k2

．
所以S2△AOB=

1

4

•

m2

1+k2

=

1

192

•

176k4+312k2+135

(1+k2)2

=

1

192

(176-

40

1+k2

-

1

(1+k2)2

)
=

1

192

[-(

1

1+k2

+20)2+576]．
∵0＜

1

1+k2

≤1，∴当k=0时，(S2△AOB)min=

45

64

，
此时m2=

45

16

，符合4k²+3＞m²．
所以S_△AOB的最小值为

3 5

8

．
则△AOB面积的最小值为

3 5

8

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用配方法求最值，考查了学生的计算能力，是难度较大的题目．