Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2=4

5

x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知经过定点M（2，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c．由抛物线y2=4

5

x方程得焦点(

5

，0)，可得c．又短轴长为4，可得2b=4，解得b．再利用a²=b²+c²即可得到a．
（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB．设直线l的方程为my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立化为（9+5m²）y²+20my-25=0，得到根与系数的关系，由于PM平分∠APB，利用角平分线的性质可得

|PA|

|PB|

=

|AM|

|BM|

，经过化简求出t的值即可．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c．
由抛物线y2=4

5

x方程得焦点(

5

，0)，∴c=

5

．
又短轴长为4，∴2b=4，解得b=2．
∴a²=b²+c²=9．
∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．
（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB．
设直线l的方程为my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

my=x-2 x2 9 + y2 5 =1

，化为（9+5m²）y²+20my-25=0，
则y1+y2=

-20m

9+5m2

，y1y2=

-25

9+5m2

．（*）
∵PM平分∠APB，∴

|PA|

|PB|

=

|AM|

|BM|

，
∴

(x1-t)2+ y 2 1

(x2-t)2+ y 2 2

=

|y1|

|y2|

，化为

(x1-t)2

(x2-t)2

=

y 2 1

y 2 2

，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式得（2-t）（y₁-y₂）[2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）]=0，
∵2-t≠0，y₁-y₂≠0，∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0．
把（*）代入上式得

-50m

9+5m2

+

(2-t)(-20m)

9+5m2

=0，
化为m（9-2t）=0，
由于对于任意实数上式都成立，∴t=

9

2

．
因此存在点P(

9

2

，0)满足PM始终平分∠APB．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、角平分线的性质、两点间的距离公式、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．