Question

已知函数f（x）=

4

4+2ax-a

在[0，1]上的最小值为

1

2

，
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：f（1）+f（2）+…+f（n）＞n-

1

2

+

1

2n+1

（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）首先判断a=0时，不合题意，从而a≠0，函数f（x）在[0，1]上是单调函数，根据f（1）=

4

5

＞

1

2

，可以判断f（x）为单调递增函数，利用函数在[0，1]上的最小值为

1

2

，可求f（x）的解析式；
（2）先将函数化简，并用放缩法可得f(n)＞1-

1

2n+1

，再累加，利用等比数列的求和公式即可证得．

解答：解：（1）∵a=0时f（x）=

4

5

不合题意∴a≠0此时f（x）在[0，1]上是单调函数； 
又f（1）=

4

5

＞

1

2

∴f（x）为单调递增函数
∴a＜0
由f（x）=

4

4+2-a

=

1

2

∴a=-2
∴f（x）=

4x

4x+1

（6分）
（2）∵f（n）=

4n

4n+1

=1-

1

4n+1

＞1-

1

2 4n

=1-

1

2n+1

（9分）
∴f（1）+f（2）+…+f（n）＞1-

1

22

+1-

1

23

+…+1-

1

2n+1

=n-

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

=n-

1

2

+

1

2n+1

（12分）

点评：本题以函数为载体，考查函数解析式的求解，考查函数与不等式的综合，关键是正确利用放缩法．