Question

已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行。
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意。

Answer 1

解：（I），由已知，，
∴k=1。
（II）由（I）知，
设，
则，即在上是减函数，
由知，当时，从而，
当时，从而
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是。
（III）由（II）可知，当时，≤0＜1+，
故只需证明在时成立
当时，＞1，且，
∴
设，，
则，
当时，，
当时，，
所以当时，取得最大值
所以.
综上，对任意，。