Question

已知数列a_n满足：2ⁿ•a₁•a₂•…•a_n=A_2nⁿ，n∈N^*
（1）求数列a_n的通项公式；（2）若b_n=a_n+2ⁿ+1，求数列{bnsin(nπ-

π

2

)}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据等式求出n+1时，2ⁿ⁺¹•a₁•a₂…a_n•a_n+1=A_2n+2ⁿ⁺¹和2ⁿ•a₁•a₂•…•a_n=A_2nⁿ，两式相除得到数列a_n的通项公式；
（2）把a_n代入到b_n=a_n+2ⁿ+1中得到b_n的通项公式，代入得到c_n=b_nsin（nπ-

π

2

）的通项公式，分别表示出c_n的各项，讨论当n为奇数和偶数时表示出c_n的前n项和，化简求出即可．

解答：解：（1）数列{a_n}满足：2ⁿ•a₁•a₂…a_n=A_2nⁿ，2ⁿ⁺¹•a₁•a₂…a_n•a_n+1=A_2n+2ⁿ⁺¹
两式相除得：2a_n+1=

(2n+2)(2n+1)2n(2n-1)(n+2)

2n(2n-1)(2n-2)(n+2)(n+1)

=

(2n+2)(2n+1)

n+1

=4n+2
所以数列通项公式：a_n=2n-1
（2）由a_n=2n-1，bn=2ⁿ+2n，
b_nsin（nπ-

π

2

）=（2ⁿ+2n）sin（nπ-

π

2

）=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+2）
T_n=[2-2²+2³-2⁴++（-1）ⁿ⁺¹•2n]+2[1-2+3-4++（-1）ⁿ⁺¹•n]
当n为偶数时，
T_n=

1-2n

1+2

-2•

n

2

=-

2n+1

3

+

2

3

-n
当n为奇数时，
T_n=

2(1+2n)

1+2

 +2(1+

n-1

2

) =

2n+1

3

+

5

3

+n
T_n=

- 2n+1 3 + 2 3 -n  2n+1 3 + 5 3 +n

点评：考查学生会根据题意求等差数列的通项公式，会分情况讨论并利用等比、等差数列求和公式求数列的和．