Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

．

Answer 1

分析：利用等比数列的求和公式可得，S_n=3ⁿ-1，要证明

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

，等价于

3n+1-1

3n-1

≤

3n+1

n

即证3ⁿ≥2n+1（*）成立
（法一）用数学归纳法证明
先验证①当n=1时，（*）式成立，②再假设当n=k时（*）成立，证明当n=k+1时，命题也成立．
（法二）利用二项式定理，检验当n=1时（*）成立
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n
从而可得

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

解答：证明：由已知，得S_n=3ⁿ-1
要证明

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

等价于

3n+1-1

3n-1

≤

3n+1

n

即3ⁿ≥2n+1（*）
（方法一）用数学归纳法证明
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立
②假设当n=k时（*）成立，即3^k≥2k+1
那么当n=k+1时，3^k+1=3×3^k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以当n=k+1时（*）也成立
综合①②可得，3ⁿ≥2n+1

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

（法二）当n=1时，左边=4，右边=4，所以（*）成立
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n

所以

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

点评：本题主要考查了等比数列的前n项和公式，不等式的证明，数学归纳法证明不等式的应用，二项式定理的运用．