Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，若

m

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ） 若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值；　
（Ⅱ） 求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

•

n

=-

1

2

可求cosA，结合A∈（0，π）可求A=

2

3

π，由S=

1

2

absinA=

3

4

bc=

3

⇒bc=4，再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²=8，从而可求
（Ⅱ）由（I）及正弦定理得：b=4sinB，c=4sinC，则b+c=4(sinB+sinC)=4(sinB+sin(

π

3

-B))=4sin(B+

π

3

)，结合B∈(0，

π

3

)可求

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=-cos2

A

2

+sin2

A

2

=-

1

2

⇒cosA=-

1

2

，
∵A∈（0，π）∴A=

2

3

π…（4分）
由S=

1

2

absinA=

3

4

bc=

3

⇒bc=4，…（5分）
又a²=b²+c²-2bccosA⇒b²+c²=8…（6分）
所以可得：b+c=4…（7分）
（Ⅱ）由（I）可得b=c=2，B=C=

π

6

由正弦定理可得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=4，得：b=4sinB，c=4sinC，…（9分）

∴b+c=4(sinB+sinC)=4(sinB+sin(

π

3

-B))=4sin(B+

π

3

)…（13分）

∵B∈(0，

π

3

)∴sin(B+

π

3

)∈(

3

2

，1]，∴b+c∈(2

3

，4]…（15分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的特殊角的三角函数值的求解，正弦定理、余弦定理的综合应用及三角函数性质的应用，属于综合性试题．