Question

已知：函数f（x）=，x∈[1，+∞]，
（1）当a=-1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=-1时f（x）==x-+2
f′（x）=1+＞0，x∈[1，+∞]，所以f（x）在x∈[1，+∞]上是增函数，
所以x=1时f（x）取最小值，最小值为2
（2）若对任意x∈[1，+∞]f（x）＞0恒成立，则＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，所以x²+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，令g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞]，
因为g（x）=x²+2x+a在∈[1，+∞]，上单调递增，
所以x=1时g（x）取最小值，最小值为3+a，
∵3+a＞0，∴a＞-3．
分析：（1）当a=-1时f（x）==x-+2，利用导数工具证明即可
（2）对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，转化为x²+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立即可．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．