Question

已知函数f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f^′（x）=-

2

x2

+

a

x

，∴f^′（1）=-2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=

2

x

+lnx-2，∴f^′（x）=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=

2

x

+lnx+x-2-b，则g′(x)=-

2

x2

+

1

x

+1=

x2+x-2

x2

．
由g^′（x）＞0解得x＞1；由g^′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[

1

e

，e]上有两个零点，∴

g( 1 e )≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得1＜b≤

2

e

+e-1，∴b的取值范围是（1，

2

e

+e-1]．