Question

已知等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d为整数，且满足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若S₂为S₁，S_m（m∈N*）的等比中项，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，得

a1+3＜a1+2d a1+d+5＞a1+3d

，由此可解得a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）由bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，知Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．由此可求出m的值．

解答：解：（1）由题意，得

a1+3＜a1+2d a1+d+5＞a1+3d

解得

3

2

＜d＜

5

2

．
又d∈Z，∴d=2．∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵S1=

1

3

，S2=

2

5

，Sm=

m

2m+1

，S₂为S₁，S_m（m∈N^*）的等比中项，
∴S₂²=S_mS₁，即(

2

5

)2=

1

3

•

m

2m+1

，
解得m=12．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．