题目内容

如图，矩形ABCD中，AB=CD=2 $数学公式$ ，BC=AD= $数学公式$ ．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．
（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．

解：如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F，则AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2．
因为DE⊥AC，面ACD∩面ABC=AC，二面角D-AC-B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，
又因为BF?平面ABC，所以DE⊥BF，故DE、AC、BF两两垂直．
如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系．
则各点的坐标如下A（0，-4，0），B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，-3，2）．（3分）
（Ⅰ） $\text{[math]}$ =（0，1，2）， $\text{[math]}$ =（2，4，0）， $\text{[math]}$ =（-2，1，0）， $\text{[math]}$ =（0，-4，2）
设平面ABD的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，1），则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ =（4，-2，1）
设平面BCD的法向量为 $\text{[math]}$ =（1，b，c），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ =（1，2，4）
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为- $\text{[math]}$ ．（8分）
（Ⅱ）设O为AC的中点，∵△ABC与△ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心．
∴四面体ABCD的体积 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（Ⅰ）过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F，可证DE、AC、BF两两垂直．以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，确定平面ABD的法向量 $\text{[math]}$ =（4，-2，1），平面BCD的法向量 $\text{[math]}$ =（1，2，4），利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅱ）设O为AC的中点，可得O为四面体ABCD的外接球的球心，从而可求四面体ABCD的体积．
点评：本题考查面面角，考查四面体体积的计算，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．