Question

△ABC中，∠A=

2π

3

，BC=

3

，向量

m

=（-

1

3

，cosB），

n

=（1，tanB），且

m

⊥

n

，则边AC的长为

2

3

．

Answer 1

分析：由向量

m

=（-

1

3

，cosB），

n

=（1，tanB），

m

⊥

n

，知-

1

3

+cosB•tanB=0，解得sinB=

1

3

．在△ABC中，∠A=

2π

3

，BC=

3

，由正弦定理，能求出AC．

解答：解：∵向量

m

=（-

1

3

，cosB），

n

=（1，tanB），

m

⊥

n

，
∴-

1

3

+cosB•tanB=0，
解得sinB=

1

3

．
∵△ABC中，∠A=

2π

3

，BC=

3

，
∴由正弦定理，得：

AC

1 3

=

3

sin 2π 3

，
解得AC=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查数量积判断平面向量垂直的条件的应用，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．