Question

在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，X～B（6，

2

3

），求概率可得分布列，可得期望；（Ⅱ）由题意可得P（A）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)4+

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)5+(

2

3

)5，计算可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6
由条件可知X～B（6，

2

3

），P（X=k）=

C

k 6

(

2

3

)k(

1

3

)6-k，（k=0，1，2，3，4，5，6）
故X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5	6
P	1 729	12 729	60 729	160 729	240 729	192 729	64 729

故EX=0×

1

729

+1×

12

729

+2×

60

729

+3×

160

729

+4×

240

729

+5×

192

729

+6×

64

729

=

2916

729

=4
当然若只求期望不写分布列可得EX=6×

2

3

=4；
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
包含恰好投进4个球，恰好投进5个球，恰好投进6个球，
故P（A）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)4+

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)5+(

2

3

)5=

32

81

，
故教师甲在一场比赛中获奖的概率为

32

81

点评：本题考查离散型随机变量的分布列即期望，以及独立重复试验的概率，属中档题．