题目内容

设函数f(x)=
m3
x3+x2+2(m≠0)．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求m的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若m＜0且f（x）的图象与直线y=3有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
分析：（1）先求导函数）f′（x）=mx2+2x，再根据函数f（x）在x=1处取得极值得f′（1）=m+2=0，从而可求m的值；
（2）先求导函数f/(x)=mx2+2x=mx(x+
2
m
)，令其大于0，对m进行讨论，从而求得函数的单调增区间．
（3）要使（x）的图象与直线y=3有三个不同的交点，则f(x)max=f(-
2
m
)＜3，解得实数m的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=mx2+2x，∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=m+2=0，∴m=-2   
（2）f/(x)=mx2+2x=mx(x+
2
m
)，当m＞0时，增区间为(-∞，-
2
m
)及（0，+∞）； 当m＜0时，增区间为(0，-
2
m
)
（3）由（2）知，函数当x=-
2
m
时，函数取得最大值，要使（x）的图象与直线y=3有三个不同的交点，则f(x)max=f(-
2
m
)＜3，解得实数m的取值范围(-
2
3
3
，0)
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q=
1
3
时，试证明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）设函数f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
已知向量
p
=(x，a-3)，
q
=(x，x+a)，f(x)=
p
•
q
．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在区间（1，+∞）上有两实根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设实数m、n、r满足：m、n、r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①m+n+r，②m2+n2+r2，③m3+n3+r3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（Ⅲ）给定函数h（x）=bx+1（b＞0），若对任意的x0∈[2，3]，总存在x1∈[1，2]，使得g（x0）=h（x1），求实数b的取值范围．
已知函数f（x）=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{an}，设它的前n项和为Sn，且满足Sn=f（n）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明an+1＞an＞1（n∈N*）；
（2）求证：点M1(1，
S1
1
)，M2(2，
S2
2
)，M3(3，
S3
3
)，…，Mn(n，
Sn
n
)在同一直线l1上；
（3）若过点N1（1，a1），N2（2，a2）作直线l2，设l2与l1的夹角为θ，求tanθ的最大值．

设函数f(x)＝2x＋的反函数为f–1(x)，且f［f－1(m3－3m)］＝m，则m的值为

[　　]

A．±2

B．0

C．0或±2

D．2
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q=
1
3
时，试证明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）设函数f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

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