Question

已知函数f（x）=|lg（x-1）|，若a≠b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是

[3+2

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：图象法：画出函数f（x）=|lg（x-1）|的图象，根据图象分析a与b的取值范围，从而求出a+2b的取值范围．

解答：解：先画出函数f（x）=|lg（x-1）|的图象，如下图：
∵a≠b，且f（a）=f（b），
∴-lg（a-1）=lg（b-1），
即

1

a-1

=b-1，∴b=1+

1

a-1

，
不妨设b＜a，则1＜b＜2，∴a+2b=a+2×（1+

1

a-1

）=（a-1）+

2

a-1

+3≥3+2

2

，
∴当a=1+

2

时，（a-1）+

2

a-1

+3取得最小值是3+2

2

．
∴a+2b的范围为[3+2

2

，+∞）．
故答案为：[3+2

2

，+∞）．

点评：本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．