Question

已知函数f(x)=x-

1

xm

且f(2)=

3

2

，x∈(0，+∞)．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性并证明；
（2）若f（3^x-2-1）＜f（9^x-1），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）的解析式，求出m的值，然后在定义域内任取两个值，并规定大小，判定它们函数值差的符号，根据单调性的定义进行判定；
（2）先根据题意可知3^x-2-1与9^x-1都应在定义域内，在根据函数f（x）的单调性建立关系式，最后解不等式组即可求出x的范围．

解答：解：（1）∵f(2)=

3

2

，
∴2-

1

2m

=

3

2

，
∴m=1，
∴f(x)=x-

1

x

（3分）
在（0，+∞）内任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂（4分）
f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）（9分）
所以f（x）在其定义域上是单调增函数．（10分）
（2）由题意得：

3x-2-1＞0 9x-1＞0 3x-2-1＜9x-1

（13分）
∴

x＞2 x＞0 x＞-2

，∴x＞2（16分）

点评：本题主要考查了函数单调性的应用，函数单调性在高考中的考查是比较常见的，属于属于基础题．