Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+1，
∴f′(x)=3(x-

1

3

)(x+1)，且x∈[-1，2]．                  
∴f（x）在区间[-1，

1

3

]上递减，[

1

3

，2]上递增，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（-1）=2与f（2）=11的最大者比较，
即f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=11，最小值为f(

1

3

)=

22

27

． 
（Ⅱ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)．    
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)上是增函数，g（x）在(

1

a

，+∞)上是增函数．
由题意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

解得a≥1．                        
当a＜0时，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）上是增函数，g（x）在(-∞，

1

a

)上是增函数．
由题意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

解得a≤-3．
综上，a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．