Question

【题目】如图，椭圆M： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求 的最大值及取得最大值时m的值．

Answer 1

【答案】解：（I） …①
矩形ABCD面积为8，即2a2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程是 ．
（II） ，
由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得 ．
设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则 ，
．
当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．
①当 时，有 ， ，
其中t=m+3，由此知当 ，即 时， 取得最大值 ．
②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 ．
③当﹣1≤m≤1时， ， ，
由此知，当m=0时， 取得最大值 ．
综上可知，当 或m=0时， 取得最大值
【解析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ） 通过 ，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当 时，求出 取得最大值 ．利用由对称性，推出 ， 取得最大值 ．③当﹣1≤m≤1时， 取得最大值 ．求 的最大值及取得最大值时m的值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．