Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BP的中点．
（1）求证：EC∥平面PAD；
（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求二面角P-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PA的中点F，连接EF，FD．因为E是BP中点，所以EF∥AB，且EF=

1

2

AB，又由已知，四边形EFDC为平行四边形，所以EC∥FD?平面PAD，FD?平面PAD，所以EC∥平面PAD．
（2）设AB=2a，由已知，BD=

2

a，∠ABD=45°，由余弦定理得AD=

2

a，所以∠ADB=90°．以D为原点，建立如图所示坐标系，利用

PB

与平面ABCD的一个法向量的夹角求出BP与平面ABCD所成的角的正弦值
（3）求出平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，z），利用面PAB与面ABD法向量夹角求出二面角P-AB-D的余弦值

3

3

．

解答：证明：（1）取PA的中点F，连接EF，FD．因为E是BP中点，所以EF∥AB，且EF=

1

2

AB，

又由已知，四边形EFDC为平行四边形，所以EC∥FD?平面PAD，FD?平面PAD，所以EC∥平面PAD．
（2）设AB=2a，由已知，BD=

2

a，∠ABD=45°，
由余弦定理得AD=

2

a，所以∠ADB=90°．
以D为原点，建立如图所示坐标系，则B（0，

2

a，0），P（

2 a

2

，0，

2 a

2

），
所以

PB

=（-

2 a

2

，

2

a-

2 a

2

）

平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）．
所以cos＜

PB，

m＞=

PB• m

|PB|×| m|

=

- 2 a 2

3 a

=-

6

6

，
BP与平面ABCD所成的角的正弦值为

6

6

．
（3）易知A（

2

，0，0），则

AB

=（-

2

a，

2

a，0），平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • AB =0 n • PB =0

得

- 2 a+ 2 ay=0 - 2 a+ 2 ay- 2 2 az=0

取x=1，则

n

=（1，1，1）．
所以cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

所以二面角P-AB-D的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查空间直线与平面位置关系的判断，空间角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力