Question

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1).

(1)求证PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积；

(3)对于向量a=(x₁,y₁,z₁),b=(x₂,y₂,z₂),c=(x₃,y₃,z₃),定义一种运算：

(a×b)·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂-x₁y₃z₂-x₂y₁z₃-x₃y₂z₁.

    试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.

Answer 1

解析：(1)∵·=-2-2+4=0，

∴AP⊥AB.

    又∵·=-4+4+0=0，

∴AP⊥AD，∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.

(2)设与的夹角为θ，则

cosθ=

=.

V=||·||·sinθ·||=··=16.

(3)|(×)·|=|-4-32-4-8|它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

    猜测：|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).