Question

（本小题满分14分）

如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．

   （1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)   

解析:

（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（2）解法1：∵平面，平面，

∴． ∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，在△中，，

在△中，，由，解得，．

∴． 过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．∵，

∴平面．∵平面，

∴．∵，，

∴平面．∵平面，

∴．∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，∴．

在△中，， ∴．

故二面角的平面角的正切值为．

解法2：∵平面，平面，∴．

∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为，

在△中，，在△中，，

由，解得，．∴．

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

设平面的法向量为，则即

取，则是平面的一个法向量．

∵，

∴．∴．故二面角的平面角的正切值为．