Question

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），则a₃=

-

1

2

，a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀=

-6

．

Answer 1

分析：由a₁=2，a _n+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），先求出a2=

1+2

1-2

=-3，a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，由此发现数列是以4为周期的数列．从而能够求出a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀．

解答：解：∵a₁=2，a _n+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），
∴a2=

1+2

1-2

=-3，
a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，
a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
由此发现数列是以4为周期的数列．
且a1•a2•a3•a4=2×(-3)×(-

1

2

)×

1

3

=1．
∵2010=4×502+2．
∴a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀=（a₁•a₂•a₃•a₄）⁵⁰²（ a₁•a₂）
=1×[2×（-3）]=-6．
故答案为：-

1

2

，-6．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，先由递推公式求出前5项，注意观察寻找规律，正确解题的关键是发现数列是以4为周期的数列．