Question

如图所示，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=，

证明：(Ⅰ)A₁C⊥平面AB₁C₁； 

 (Ⅱ)若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE//平面AB₁C₁?证明你的结论．

Answer 1

证明：(Ⅰ)∵∠ACB=90°，BC⊥AC．∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BC⊥CC₁。

∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁．∵A₁C平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C，

∵BC//B₁C₁．∴B₁C₁⊥A₁C

    在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=

    ∵AA₁=，∴四边形ACC₁A₁为正方形，∴A₁C⊥AC₁

∵B₁C₁∩AC₁=C₁，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．

    (Ⅱ)当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁

    证明如下：取AB₁的中点F，连EF，FC，FD，ED，

    ∵EFBB₁，DC₁BB₁．∴EFDC₁，

    ∴EFC₁D是平行四边形，

    ∴ED//FC₁，∵FC₁平面AB₁C₁，且ED平面AB₁C₁

    ∴ED//平面AB₁C₁。