题目内容

已知函数f（x）=cos（2x+ $数学公式$ ）+sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且C为锐角，f（ $数学公式$ ）=- $数学公式$ ，c= $数学公式$ ，a+b=3，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+sin²x= $\text{[math]}$ cos2x- $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ （1-cos2x）=- $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ …（3分）
∴当2x=- $\text{[math]}$ +2kπ时，即x=kπ- $\text{[math]}$ （k∈Z）时，函数f（x）=的最大值是- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ sinC+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，可得sinC= $\text{[math]}$
∵C为锐角，∴C= $\text{[math]}$ …（8分）
又∵c²=a²+b²-2abcosC，a²+b²=（a+b）²-2ab
∴3=3²-2ab（1+cosC）=9-3ab，∴ab=2 …（10分）
∴△ABC的面积S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）将函数表达式展开，结合三角函数降次公式合并，可得f（x）=- $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ ，由此不难得到函数f（x）的最大值；
（II）由f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，可算出sinC= $\text{[math]}$ 结合C为锐角得C= $\text{[math]}$ ，再利用三角形的余弦定理结合题中给出的数据，算出ab=2，最后可用正弦定理的面积公式求出△ABC的面积．
点评：本题给出三角函数表达式，要求我们化简、求函数的最大值，并依此解三角形，着重考查了余弦定理、三角函数的降次公式和辅助角公式等知识，属于基础题．