Question

已知二次函数f（x）=px²+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=

1

3

(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）已知不等式ln（x+1）＜x（x＞0）成立，求证：

n

k=2

lnk

k2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据给出的二次函数的导函数求出p、q的值，把点代入二次函数解析式，求出S_n，分类求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的a_n得c_n，代入递推式后运用错位相减法可求得b_n；
（Ⅲ）根据不等式ln（x+1）＜x（x＞0）成立，则

lnx

x

＜

x-1

x

=1-

1

x

，结合结论中分母有k²，所以把其中的x换为n²，放缩后进行列项求和即可得证．

解答：解：（Ⅰ）已知二次函数f（x）=px²+qx（p≠0），则f'（x）=2px+q=6x-2
故p=3，q=-2
所以f（x）=3x²-2x，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，
则Sn=3n2-2n，当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-5
故数列{a_n}的通项公式：a_n=6n-5
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cn=

1

3

(an+2)=2n-1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1，
当n=1时，b1=

1

2

，
当n≥2时，2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1+2nbn=2n-1
2b1+22b2+23b3+…+2^n-1b_n-1=2（n-1）-1
两式相减得：bn=

1

2n-1

=21-n，
故数列{b_n}的通项公式：bn=

1 2 ，n=1 21-n，n≥2，n∈N*

（Ⅲ）已知不等式ln（x+1）＜x（x＞0）成立，故lnx＜x-1，则

lnx

x

＜

x-1

x

=1-

1

x

所以

lnn2

n2

＜1-

1

n2

⇒

lnn

n2

＜

1

2

(1-

1

n2

)，
故

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

(1-

1

22

)+

1

2

(1-

1

32

)+…+

1

2

(1-

1

n2

)
=

1

2

(n-1)-

1

2

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

))＜

1

2

(n-1)-

1

2

(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
=

1

2

(n-1)-

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2n2-n-1

4(n+1)

．
故不等式

n

k=2

lnk

k2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N*，n≥2)成立．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了给出数列前n项和求通项的方法，训练了不等式证明的放缩法，同时考查了数列的列项求和，是一个综合性较强的问题，属难度较大的题型．