Question

定义函数f_n(x)=(1+x)ⁿ-1，x＞-2(n∈N*)，其导函数为f_n′(x)．

(1)求证f_n(x)≥nx；

(2)设，求证0＜x₀＜1；

(3)是否存在区间[a，b)(-∞，0]，使函数h(x)=f₃(x)-f₂(x)在区间[a，b)的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的A的值及相应的区间[a，b]．

Answer 1

解：(1)令g(x)=f_n(x)-nx=(1+x)ⁿ-1-nx

∵g′(x)=n(x+1)^n-1=n[(x+1)^n-1-1]

当-2＜x≤0时，g′(x)≤0；

当x＞0时，g′(x)＞0．

∴g(x)在(-2，0]上递减，在(0，+∞)上递增

则x=0时，g(x)_min=g(0)=0

∴g(x)≥g(x)_min=0 

即f_n(x)≥nx 

(2)∵

即

∴x₀=  易得x₀＞0

而x₀-1=

由(1)知x＞0时，(1+x)ⁿ＞1+nx

故2n+1=(1+1)ⁿ⁺¹＞n+2

∴x₀＜1  综上  0＜x₀＜1．

(3)∵h(x)=f₃(x)-f₂(x)=x(1+x)²

h′(x)=(1+x)²+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x)

令h′(x)=0x=-1或-

∴h′(x)在(-2，-1)及(-，+∞)为正，

在∵(-1，-)时为负值，作图如图所示

考查直线y=kx(k＞0)与曲线y=h(x)相交问题假设存在k满足题意

∵在[-1，0]上，A(]为极小值点B()

当y=kx绕原点O顺时针旋转到B点时

k_min=  此时[a，b]=[，0].