Question

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2．
（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意x∈[

1

3

，1]，不等式|a-f（x）|＞ln5，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的定义域，然后求出导函数f'（x），在[0，1]上，求解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数f（x）的单调性；
（2）先将不等式的绝对值去掉得到a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5在x∈[

1

3

，1]恒成立，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞-

2

3

}，f′(x)=

3

2+3x

-3x=

3-6x-9x2

2+3x

=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

（3分）
∴在[0，1]上，当0≤x＜

1

3

时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
当

1

3

＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）在[0，1]上的增区间是[0，

1

3

]，减区间是[

1

3

，1]．（开闭均可）（6分）
（2）由|a-f（x）|＞ln5，可得a-f（x）＞ln5或a-f（x）＜-ln5，
即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5．（7分）
由（1）当x∈[

1

3

，1]时，f（x）max=f（

1

3

）=ln3-

1

6

，f(x)min=f(1)=ln5-

3

2

．（9分）
∵a＞f（x）+ln5恒成立，∴a＞ln15-

1

6

，
∵a＜f（x）-ln5恒成立，∴a＜-

3

2

．
∴a的取值范围为：a＞ln15-

1

6

或a＜-

3

2

（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．