Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
（2）若对于任意x∈[

1

3

，1]不等式|a-f（x）|＞ln5恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0.1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）令其=0得到函数驻点，讨论函数在[0，1]上，驻点把它分成两个区间考虑函数的增减性得到极值即可；
（2）|a-f（x）|＞ln5，即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5，问题转化为求函数的最值，利用导数可求得函数的最大值、最小值；
（3）f（x）=-2x+b可化为ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b=0，令ψ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b，利用f（a）f（b）＜0，则a与b之间有交点的方法求出b的取值即可；

解答：解：（1）f′（x）=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，
令f′（x）=0得x=

1

3

或x=-1（舍去），
∴当0≤x＜

1

3

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当

1

3

＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（

1

3

）=ln3-

1

6

为函数f（x）在[0，1]上的极大值；
（2）由|a-f（x）|＞ln5，可得a-f（x）＞ln5或a-f（x）＜-ln5，即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5，
由（1）当x∈[

1

3

，1]时，f（x）_max=f（

1

3

）=ln3-

1

6

，f（x）_min=f（1）=ln5-

3

2

，
∵a＞f（x）+ln5恒成立，∴a＞ln3-

1

6

+ln5=ln15-

1

6

，
∵a＜f（x）-ln5恒成立，∴a＜ln5-

3

2

-ln5=-

3

2

，
所以a的取值范围为：a＞ln15-

1

6

或a＜-

3

2

；
（3）由f（x）=-2x+b可得ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b=0，
令ψ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b，则ψ′（x）=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

，
令ψ′（x）=0，得x=

7

3

或x=-

7

3

（舍去），
当x∈[0，

7

3

]时，ψ′（x）＞0，ψ（x）在[0，

7

3

]上递增；当x∈[

7

3

，1]时，ψ′（x）＜0，ψ（x）在[

7

3

，1]上递减；
而ψ（

7

3

）＞ψ（0），ψ（

7

3

）＞ψ（1），
∴f（x）=-2x+b即ψ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于

ψ(0)=ln2-b≤0 ψ( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ψ(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，
由此得，ln5+

1

2

≤b＜ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

．

点评：本题主要考查求函数的极值、最值，考查函数思想、转化思想，考查用函数法解决方程根的问题．