Question

有个首项为1，项数为的等差数列，设其第个等差数列的第项为，且公差为. 若，，

也成等差数列．

（Ⅰ）求（）关于的表达式；

（Ⅱ）将数列分组如下：，，，，，，）…，

（每组数的个数组成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前项和；

（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式

成立的所有的值．

Answer 1

解（Ⅰ）由题意知，．

，同理，

，，…，

．

成等差数列，

所以，

故.

即是公差是的等差数列．

所以，（，）．       ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

数列分组如下：，，，…．

按分组规律，第组中有个奇数，

所以第1组到第组共有个奇数．

注意到前个奇数的和为，

所以前个奇数的和为，即前组中所有数之和为，所以．

    因为，所以，从而 ．

所以 .

，

故

，

所以 ．              ……………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.

故不等式 就是．

考虑函数．

当时，都有，即．

而，

注意到当时，单调递增，故有.

因此当时，成立，即成立．

所以满足条件的所有正整数．…………………………………14分