Question

已知函数g（x）=lg[a（a+1）x²-（3a+1）x+3]的值域是R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由对数函数的图象可知a（a+1）x²-（3a+1）x+3能取到一切正实数，转化为研究一个二次型函数的取值问题，
可结合二次函数的图象考虑．

解答：解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x²-（3a+1）x+3能取到一切正实数．
①a=0时，h（x）=-x+3，显然能取到一切正实数；
②a=-1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；
③a≠0且a≠-1时，∵h（x）=a（a+1）x²-（3a+1）x+3是二次函数，
∴必须有

a(a+1)＞0 △=(3a+1)2-12a(a+1)≥0.

解得

-3-2 3

3

≤a＜-1或0＜a≤

-3+2 3

3

．
综上所述，a的取值范围是
[

-3-2 3

3

，-1]∪[0，

-3+2 3

3

]．

点评：本题考查复合函数的值域、二次函数的图象和性质等问题，综合性较强，还要注意分类讨论思想的应用．