Question

定义在R上的函数f（x）满足f(x)=

x2  x∈[0，1) x  x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），g(x)=

1

x-2

，则方程f（x）=g（x）在区间[-3，7]上的所有实根之和最接近下列哪个数（　　）

Answer 1

分析：由f（x+2）=f（x），得到函数是周期为2的周期函数，分别作出函数f（x），g（x）在[-3，7]上的图象，利用图象观察交点的个数和规律，然后进行求解．

解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵g(x)=

1

x-2

，∴g（x）关于直线x=2对称．
分别作出函数f（x），g（x）在[-3，7]上的图象，
由图象可知两个函数的交点个数为6个，设6个交点的横坐标从小到大为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，
且这6个交点接近点（2，0）对称，
则

x1+x6

2

=2，即x1+x6=4，
所以x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3（x₁+x₆）=3×4=12，
故方程f（x）=g（x）在区间[-3，7]上的所有实根之和最接近10．
故选A．

点评：本题主要考查函数交点个数和取值的判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．本题综合性较强，难度较大．