Question

某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用f(x)=800(1+

1

5

lnx)来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该网球中心应建几个球场？

Answer 1

分析：根据综合费用是建设费用与购地费用之和，求出每平方米的综合费用，利用导数法，即可求得结论．

解答：解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为

128×104

1000x

=

1280

x

元
∵每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用f(x)=800(1+

1

5

lnx)来表示
∴每平方米的综合费用为g（x）=f（x）+

1280

x

=800+160lnx+

1280

x

（x＞0），
∴g′（x）=

160(x-8)

x2

（x＞0）
令g′（x）=0，则x=8
当0＜x＜8时，g′（x）＜0，当x＞8时，g′（x）＞0，
∴x=8时，函数取得极小值，且为最小值
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用导数法求函数的最值，解题的关键是建立函数模型，利用导数法求最值．